Μαθηματικά
Ακολουθία Fibonacci

 
Ο αριθμός π

 
2η επανάληψη Μαθηματικών

Άσκηση 5

"Το σχολείο της Πλατανιάς έχει 125 μαθητές..."

Γράφουμε τις ισότητες για την κάθε τάξη π.χ.

Α = Δ + 7

Β = Δ + 5

Γ = Α = Δ + 7

Ε = Δ + 4

ΣΤ = Δ

Ύστερα γράφουμε την ισότητα με το άθροισμα των 6 τάξεων π.χ.

Α + Β + Γ + Δ + Ε + ΣΤ = 125

{Τα αντικαθιστούμε όλα με το δεύτερο μέρος των παραπάνω ισοτήτων, ώστε να έχουμε έναν μόνο άγνωστο, το Δ, το οποίο στη συνέχεια θα βρούμε με τη γνωστή διαδικασία}

(Δ+7) + (Δ+5) + (Δ+7) + Δ + (Δ+4) + Δ = 125

{Μετράμε όλα τα Δ, αθροίζουμε όλους τους αριθμούς]

6 * Δ + 23 = 125

{Λύνουμε κατά τα γνωστά, βρίσκουμε το Δ και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε για το Δ στις αρχικές ισότητες της κάθε τάξης}

 

Άσκηση 7

Έστω Μ το μήκος και Π το πλάτος του ορθογωνίου

Ισχύει: Μ = 2 * Π  ή  Π = Μ : 2

Η περίμετρος είναι  Π+Π+Μ+Μ=450 ή 2*Π + 2*Μ = 450 (Αντικαθιστούμε σύμφωνα με τις παραπάνω ισότητες, ώστε να έχουμε έναν άγνωστο)

Οπότε:  2*Π + 2*Μ  = 450

2*Π + 2*2*Π = 450 {εξήγηση: αντί για το Μ βάλαμε αυτό με το οποίο ισούται, σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης, δηλαδή το 2*Π}

6*Π = 450

(Λύνουμε όπως έχουμε μάθει για να βρούμε το Π και μετά χρησιμοποιούμε την τιμή που βρήκαμε για το Π για να βρούμε το Μ)

 

Άσκηση 13

Παρατηρώ ότι στην ισότητα επαναλαμβάνεται 4 φορές το 3*χ+8

Οπότε μπορεί να γίνει:

4*(3*χ+8)=22*χ+12

Σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση:

4*3*χ + 4*8=22*χ+12

12*χ + 32=22*χ+12

Βάζουμε όλα τα άγνωστα στη μία πλευρά της ισότητας και τα γνωστά στην άλλη

Πάμε το 12*χ στην άλλη πλευρά και από +12*χ γίνεται -12*χ

Πάμε το 12 στην άλλη πλευρά και από +12 γίνεται -12

Οπότε έχουμε:

22*χ - 12*χ = 32 - 12 (Συνεχίζουμε μέχρι να βρούμε την τιμή του  χ)

 

Άσκηση 14

7*χ - 4 = 3*χ + 4

Γνωρίζουμε ότι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέρη της ισότητας, η ισότητα δεν "χαλάει", δεν αλλάζει.

Οπότε, προσθέτω και στα δύο μέρη 4

7*χ - 4 + 4 = 3*χ + 4 + 4

7*χ = 3*χ + 8 {Συνεχίζω να λύνω όπως μία εξίσωση πρόσθεσης}

7*χ - 3*χ = 8

4*χ = 8

χ = 8 : 4

χ = 2

 

Άσκηση 16

"Σ' ένα σχολείο σχημάτισαν 15 ομάδες..."

Έστω χ ο αριθμός των ομάδων με 8 μέλη και y ο αριθμός των ομάδων με 4 μέλη.

Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης θα ισχύει:

χ + y = 15 και 8*x + 4*y = 92

Για να μην έχουμε 2 αγνώστους στην ισότητα, αντικαθιστούμε το χ ή το y με το ισοδύναμό του, δηλαδή

χ+y=15 ή y=15-χ {όπως έχω μάθει να λύνω τις εξισώσεις πρόσθεσης}

Αντικαθιστούμε το y στην ισότητα 8*x + 4*y = 92  με το ισοδύναμό του 15-χ {το κάνω αυτό για να έχω έναν άγνωστο στην ισότητα}

Έτσι γίνεται: 8*χ + 4*(15-χ)=92

Κάνουμε τις πράξεις σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση

8*χ + 4*15 - 4*χ = 92

8*χ + 60 - 4*χ = 92

8*χ + 60 - 60 = 92 - 60 {αφαιρώ τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές της ισότητας, ώστε +60 - 60 να γίνει 0 και να μείνει μόνο το άγνωστο 8χ}

8*χ = 92 - 60 {ή σκέφτομαι κατευθείαν να πάω στην άλλη πλευρά της ισότητας το +60, το οποίο περνώντας απέναντι θα γίνει -60}

8*χ = 32

χ = 32 : 8

χ = 8

Για να βρω τις ομάδες των 4 παιδιών στην ισότητα  χ + y = 15 αντικαθιστώ το χ με την τιμή 8 που βρήκα

8+y=15

y=15-8

y=7

Αν θέλω να σιγουρευτώ για το αποτέλεσμα αντικαθιστώ τις τιμές που βρήκα στην ισότητα 8*x + 4*y = 92

Οπότε θα έχουμε:

8*8 + 4*7 =92

64 + 28 = 92 Όντως ισχύει !

Απάντηση: Σχηματίστηκαν 8 οκταμελείς ομάδες και 7 τετραμελείς ομάδες.

 

Άσκηση 17

8*ω + 3*z - 7*k + z +9/3*z +z

Παρατηρώ ότι τα πολλά z επαναλαμβάνονται, τα μετράω και βρίσκω ότι είναι 8

Οπότε η παράσταση γίνεται

8*ω + 8*z -7*k =

8 * (ω+z) - 7*k